Manacher's algorithm은 문자열 내에서 팔린드롬(palindrome,회문)을 찾는것과 관련된 알고리즘이며, 시간 복잡도는 O(n)$O(n)$ 이다.(n$n$은 문자열의 길이)

이 알고리즘은 문자열 S$S$를 입력으로 받아 다음을 반환한다:

• 문자열 S$S$와 길이가 같은 정수 배열 A$A$, 각 A$A$의 원소 A[i]$A[i]$는 i$i$번째 문자열을 중심으로 하는 가장 긴 팔린드롬의 반지름의 길이.(즉, S[(i-A[i])\cdots (i+A[i])]$S[(i-A[i])\cdots (i+A[i])]$는 팔린드롬이며, S[(i-A[i]-1) \cdots (i+A[i]+1)]$S[(i-A[i]-1) \cdots (i+A[i]+1)]$은 팔린드롬이 아니다)

예를 들면, S='banana'라는 입력에 대해 A의 결과는:

알고리즘은 다음과 같다:

1. i$i$는 0$0$부터 n-1(n=|S|)$n-1(n=|S|)$까지 진행된다
2. j<i$j<i$인 모든 j$j$에 대해 R=\max(j+A[j])$R=\max(j+A[j])$이라하고, 또한 그러한 j$j$를 p$p$라 하자. 즉, R=p+A[p]$R=p+A[p]$
3. i \le R$i \le R$인지 여부에 따라 A[i]$A[i]$의 초기값이 정해진다
   • i>R$i>R$이라면, A[i]$A[i]$의 초기값은 0$0$이다.
   • i \le R$i \le R$이라면, i$i$는 p$p$를 중심으로 한 팔린드롬에 속한다는 이야기이다. 이때 p$p$를 중심으로 i$i$의 대칭점 i'$i'$을 구한다. (즉, i'=2*p-i$i'=2*p-i$) A[i]$A[i]$의 초기값은 \min(R-i,A[i'])$\min(R-i,A[i'])$으로 둔다.
4. A[i]$A[i]$의 초기값에서부터, S[i-A[i]]$S[i-A[i]]$과 S[i+A[i]]$S[i+A[i]]$가 같을 때까지 A[i]$A[i]$를 증가시키고, 그 다음 i$i$로 넘어간다.

의사코드로 구현하면 다음과 같다:

R = -1
p = -1
for i = 0 to n-1:
   if i <= R:  A[i] = min(A[2*p - i], R-i)
   else:       A[i] = 0
   while S[i-A[i]-1] == S[i+A[i]+1]:
      A[i] = A[i] + 1
   if i+A[i] > R:
      R = i+A[i], p = i

시간복잡도 분석

A[i]$A[i]$의 초기값은 세 가지 경우가 있을 수 있다.

• A[i]=A[2*p - i] (<R-i)$A[i]=A[2*p - i] (<R-i)$ 인 경우

A[i]$A[i]$는 더 이상 증가하지않는다. 대칭점m=2*p-i$m=2*p-i$에서 A[m]$A[m]$가 더 이상 증가하지 않았다는 것은, S[m-A[m]-1]!=S[m+A[m]+1]$S[m-A[m]-1]!=S[m+A[m]+1]$이었음을 의미한다. 근데 i+A[m]<R$i+A[m]<R$ 이므로 m-A[m]-1$m-A[m]-1$과 m+A[m]+1$m+A[m]+1$도 p$p$를 중심으로 하는 팔린드롬안에 들어갈 것이다. 그러므로 S[i-A[m]-1]=S[m+A[m]+1], S[i+A[m]+1]=S[m-A[m]-1]$S[i-A[m]-1]=S[m+A[m]+1], S[i+A[m]+1]=S[m-A[m]-1]$이고, S[i-A[m]-1]!=S[i+A[m]+1]$S[i-A[m]-1]!=S[i+A[m]+1]$이 되므로 의사코드내에서의 while문은 수행되지 않는다. (그림 참조)

• A[i]=R-i (<2[2*p - i])$A[i]=R-i (<2[2*p - i])$
• A[i]=0$A[i]=0$

이 두 경우는 i+A[i] >= R$i+A[i] >= R$임을 의미한다. 따라서 while문을 다 돌고 나면 R = i+A[i]$R = i+A[i]$가 항상 수행될 것이다. 또한 while문을 한 번 돌때마다 최소한 A[i]$A[i]$가 1$1$씩 증가하므로, R$R$값 역시 while문 수행횟수 이상의 값으로 증가할 것이다. R$R$값의 정의를 생각해보면, R<n$R<n$이고, 절대로 감소하지않는다. 그러므로 while문의 총 실행횟수는 amortized O(n)$amortized O(n)$이고, 이는 총 시간복잡도이다.

모든 팔린드롬 구하기

Manacher's algorithm은 각 문자를 중심으로 하는 팔린드롬을 측정하기 때문에, 길이가 짝수인 팔린드롬은 찾을 수 없다. (예:abcddcba) 각 글자 사이에 더미 문자를 끼워넣어서 'a#b#c#d#d#c#b#a'꼴로 만들고 풀면, 짝수길이인 팔린드롬 역시 찾을 수 있다.

연습문제

• COUNTPALIN
• Codeforces 문제: palisection