a[n][k] = "n개의 disc와 k개의 pole을 이용해서 문제를 풀 때의 최소 이동 수" 로 가정하겠습니다.

먼저 일반적인 하노이 탑 문제를 살펴보겠습니다.
문제는 어느 한 pole (pole A) 에서 다른 pole (pole B) 로 n개의 disc를 옮겨야 하는 것입니다.
그 과정으로 다른 하나의 pole (pole C) 에 n-1개의 disc를 임시로 옮겨놓고
가장 큰 disc를 pole A 에서 pole B로 옮긴 다음
다시 n-1개의 disc를 pole C 에서 pole B로 옮기는 것입니다.
즉, 옮기는 횟수의 점화식은 a[n][3] = a[n-1][3] + 1 + a[n-1][3] = 2*a[n-1][3]+1 이 됩니다.
여기서 1은 엄밀히 말하면 a[1][2] 가 되겠습니다.
a[1][3] = 1 이기 때문에 점화식을 풀면 a[n][3] = 2^n-1 이 되는 것이죠.

자 그럼 과연 k가 3 이상일 때는 점화식이 어떻게 될까요?
a[n][k] = min (a[j][k] + a[n-j][k-1] + a[j][k]), (1 <= j < n)
이런 형식이 되겠습니다.
먼저 j개의 disc를 어느 빈 pole에 옮기고 (a[j][k])
나머지 n-j개의 disc를 목표 pole에 옮깁니다 (a[n-j][k-1]) 
이 때, j개의 disc가 있는 pole을 이용할 수 없기 때문에 이용할 수 있는 pole의 수는 k-1 입니다.
그리고 다시 j개의 disc를 목표 pole에 옮기는 것이죠 (a[j][k])

이상 n개의 disc와 k개의 pole을 이용한 하노이 탑 점화식 설명이었습니다.